Question

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）若x＞1时，f（x）＞0，求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（4）在（3）的条件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

Answer 1

解：（1）令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．
（2）令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定义域关于原点对称可得f（x）是偶函数．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则，，
则，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
由f（3x+1）≤2变形为f（3x+1）≤f（16）．
∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的条件下有f[|3x+1|]≤f（16）
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈．
分析：（1）利用该抽象函数满足的函数值关系的性质，赋两个自变量相应的值，可以求解出f（1）与f（-1）的值；
（2）根据函数的奇偶性的定义结合已知条件得出f（-x）与f（x）的关系是解决本题的关键，注意对自变量赋合适的函数值；
（3）根据单调性的定义，任取定义区间的两个自变量，比较其函数值得出f（x）在区间（0，+∞）上的递增性质；
（4）利用（3）中函数的单调性，将函数值的关系转化为相应自变量的关系列出关于x的不等式是解决本题的关键．
点评：本题考查抽象函数问题的解决方法，考查赋值法求给定自变量处函数值，赋值法确定函数奇偶性、单调性的方法，充分发挥定义的引领作用．考查函数单调性在转化求解自变量时的应用作用．