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已知等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn且满足条件:
S2n
Sn
=
4n+2
n+1
(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的前n项和为 Tn,且有
Tn+1-bn+1
Tn+bn
=1(n∈N*),b1=3,证明:数列{bn-1}是等比数列;又cn=
2an+1
bn-1
,求数列{cn}的前n项和Wn
考点:数列的求和,数列递推式
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn且满足条件:
S2n
Sn
=
4n+2
n+1
(n∈N*).取n=1时,可得
S2
S1
=
1+a2
1
=
6
2
,解得a2=2,可得公差d=a2-a1.利用等差数列的通项公式即可得出.
(2)由
Tn+1-bn+1
Tn+bn
=1(n∈N*),b1=3,可得Tn+1-Tn=2bn-1,bn+1=2bn-1,变形为bn+1-1=2(bn-1),利用等比数列的通项公式即可得出bn
可得cn=
2an+1
bn-1
=
2n+1
2n
,再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出.
解答: (1)解:∵等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn且满足条件:
S2n
Sn
=
4n+2
n+1
(n∈N*).
S2
S1
=
1+a2
1
=
6
2
=3,解得a2=2,
∴公差d=a2-a1=1.
∴an=1+(n-1)×1=n.

(2)证明:由
Tn+1-bn+1
Tn+bn
=1(n∈N*),b1=3,
∴Tn+1-Tn=2bn-1,
∴bn+1=2bn-1,
变形为bn+1-1=2(bn-1),
∴数列{bn-1}是等比数列,首项为b1-1=2,公比为2,
bn-1=2n
bn=2n+1.
∴cn=
2an+1
bn-1
=
2n+1
2n

∴数列{cn}的前n项和Wn=
3
2
+
5
22
+
7
23
+…+
2n+1
2n

1
2
Wn
=
3
22
+
5
23
+…+
2n-1
2n
+
2n+1
2n+1

1
2
Wn
=
3
2
+
2
22
+
2
23
+…+
2
2n
-
2n+1
2n+1

∴Wn=3+1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-2
-
2n+1
2n
=1+
2(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
2n+1
2n
=5-
2n+5
2n
点评:本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式的前n项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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4

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ai+1
ai
∈{2,1,-
1
2
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a2
a1
+
a3
a2
+…+
a9
a8
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