Question

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外，以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对A和城B的总影响度为0.065。



（1）将表示成的函数；
（2）判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1) (2) 在弧AB存在C点使得交点在此处的垃圾处厂对A、B影响最小，该点距A的距离是km

试题分析：解：（1）如图由题意知
             3
其中当
                                   5
           6
（2）
              9
令

            11

	－	0	＋

                13
答：在弧AB存在C点使得交点在此处的垃圾处厂对A、B影响最小，该点距A的距离是km。                 14
点评：解决的关键是能够利用导数的符号来研究函数单调性，以及函数的最值的求解，属于基础题。