【题目】如图,四棱台中, 底面,平面平面为的中点.
(1)证明: ;
(2)若,且,求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先根据平几知识求,再根据面面垂直性质定理得平面即得;(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用解方程组得各面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角的正弦值.
试题解析:(1)证明:连接,
∵为四棱台,四边形四边形,
∴,由得, ,
又∵底面,∴四边形为直角梯形,可求得,
又为的中点,所以,
又∵平面平面,平面平面,
∴平面平面,
∴;
(2)解:
在中, ,利用余弦定理可求得, 或,由于,所以,从而,知,
如图,以为原点建立空间直角坐标系, ,
由于平面,所以平面的法向量为,
设平面的法向量为, , ,
设,所以,
,
∴,
即二面角的正弦值为.
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【题目】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E为棱CC1的中点,点M在正方形BCC1B1内运动,且直线AM∥平面A1DE,则动点M的轨迹长度为______.
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【题目】已知函数, ,在处的切线方程为.
(1)求, ;
(2)若,证明: .
【答案】(1), ;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到关于 的方程组,解出即可;
(2)由(1)可知, ,
由,可得,令, 利用导数研究其单调性可得
,
从而证明.
试题解析:((1)由题意,所以,
又,所以,
若,则,与矛盾,故, .
(2)由(1)可知, ,
由,可得,
令,
,
令
当时, , 单调递减,且;
当时, , 单调递增;且,
所以在上当单调递减,在上单调递增,且,
故,
故.
【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法,以及利用导数证明不等式的方法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(, 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,若直线与曲线相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点, 与原点构成,且满足,求面积的最大值.
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【题目】某公司对营销人员有如下规定:
①年销售额 (万元)在8万元以下,没有奖金;
②年销售额 (万元), 时,奖金为万元,且, ,且年销售额越大,奖金越多;
③年销售额超过64万元,按年销售额的10%发奖金.
(1)求奖金y关于x的函数解析式;
(2)若某营销人员争取奖金 (万元),则年销售额 (万元)在什么范围内?
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【题目】济南新旧动能转换先行区,承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想,肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任,是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化质量提升”为目标,通过开放平台汇聚创新要素,坚持绿色循环保障持续发展,建设现代绿色智慧新城.2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区,对市场进行了可行性分析,如果全年固定成本共需2000(万元),每年生产机器人(百个),需另投人成本(万元),且,由市场调研知,每个机器人售价6万元,且全年生产的机器人当年能全部销售完.
(1)求年利润(万元)关于年产量(百个)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)该企业决定:当企业年最大利润超过2000(万元)时,才选择落户新旧动能转换先行区.请问该企业能否落户先行区,并说明理由.
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【题目】下面六个句子中,错误的题号是________.
①周期函数必有最小正周期;
②若则,至少有一个为;
③为第三象限角,则;
④若向量与的夹角为锐角,则;
⑤存在,,使成立;
⑥在中,O为内一点,且,则O为的重心.
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