Question

20．过直线y=2x上一点P作圆M：${（x-3）^2}+{（y-2）^2}=\frac{4}{5}$的两条切线l₁，l₂，A，B为切点，当直线l₁，l₂关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 连接PM、AM，根据圆的性质和轴对称知识，得当切线l₁，l₂关于直线l对称时，直线l⊥PM，且PM平分∠APB．因此计算出圆的半径和点M到直线l的距离，在Rt△PAM中利用三角函数定义算出∠APM的度数，从而得到∠APB的度数．

解答 解：连接PM、AM，可得当切线l₁，l₂关于直线l对称时，
直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，
∵圆M的方程为（x-3）²+（y-2）²=$\frac{4}{5}$，
∴点M坐标为（3，2），半径r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
点M到直线l：2x-y=0的距离为PM=$\frac{|2×3-2|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
由PA切圆M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM=$\frac{AM}{PM}$=$\frac{1}{2}$，
得∠APM=30°，
∴∠APB=2∠APM=60°．
故选：C．

点评 本题在直角坐标系中给出圆的两条切线关于已知直线对称，求它们之间所成的角，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系和轴对称等知识，属于中档题．