Question

已知函数f（x）=x|x|-2ax+1（x，a∈R）有下列四个结论：
（1）当a=0时，f（x）的图象关于原点对称
（2）f（|x|）有最小值1-a²
（3）若y=f（x）的图象与直线y=2有两个不同交点，则a=1
（4）若f（x）在R上是增函数，则a≤0
其中正确的结论为（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（3）

D．（3）（4）

Answer 1

分析：（1）若f（x）的图象关于原点对称则f（0）=0，因为f（0）=1所以（1）错．
（2）函数f（|x|）=f（|-x|）所以函数为偶函数，当x≥0时y=x²-2ax+1此时其对称轴为x=a．所以（2）错．
（3）（4）根据函数的图象可得若y=f（x）的图象与直线y=2有两个不同交点，则a=1，若f（x）在R上是增函数，则a≤0所以（3）（4）正确．

解答：解：（1）当a=0时，函数f（x）=x|x|+1由题得x∈R所以x=0有意义，所以所以当a=0时，f（x）的图象不关于原点对称．（1）错．
（2）f（|x|）=x²-2a|x|+1，所以函数f（|x|）=f（|-x|）所以函数为偶函数．当x≥0时y=x²-2ax+1此时其对称轴为x=a，当a≤0时函数的最小值为1，由函数是偶函数得当x≥0时函数的最小值也是1，所以f（|x|）有最小值1-a²是错误的．（2）错．
（3）由题意得y=f（x）=

x2-2ax+1，x≥0 -x2-2ax+1，x＜0

，
当a＜0时与a≥0时函数的图象分别为

所以若y=f（x）的图象与直线y=2有两个不同交点，则a=1．（3）正确．
（4）由（3）可得当a≤0时函数函数f（x）=x|x|-2ax+1是增函数．（4）正确．
故选D．

点评：本题主要考查二次函数的奇偶性，单调性等性质，解决此类问题的方法是根据函数的解析式画出函数的图象，运用数形结合的数学思想解决问题．