Question

（本小题满分12分）已知函数，.
（1）若恒成立，求实数的值；
（2）若方程有一根为，方程的根为，是否存在实数，使？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）不存在满足条件的实数.

试题分析：本题主要考查导数的计算以及运用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查学生的函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力和计算能力.第一问，注意到函数的定义域中，所以先将原恒成立的不等式进行转化，设出新函数，只需证出即可，所以转化为求函数的最小值问题，对求导，讨论的正负，判断函数的单调性和最值；第二问，结合第一问的结论，判断出当或或时不合题意，当时，先求出的解，假设存在成立，得到的值，代入到中，判断有没有可能为0，设出新函数，只需判断的最小值的正负，对求导，并进行二次求导，判断函数的单调性，判断出，所以不合题意，所以不存在满足条件的实数.
试题解析：⑴解:注意到函数的定义域为,
所以恒成立恒成立,
设,
则,     2分
当时,对恒成立,所以是上的增函数,
注意到,所以时,不合题意.   4分
当时,若,;若,.
所以是上的减函数,是上的增函数,
故只需.      6分
令,
,
当时,; 当时,.
所以是上的增函数,是上的减函数.
故当且仅当时等号成立.
所以当且仅当时,成立,即为所求.      8分
⑵解:由⑴知当或时,,即仅有唯一解,不合题意;
当时, 是上的增函数,对,有，
所以没有大于的根,不合题意.    8分
当时,由解得,若存在,
则,即,
令,,
令,当时,总有,
所以是上的增函数,即,
故,在上是增函数,
所以,即在无解.
综上可知,不存在满足条件的实数.     12分