Question

12．设函数f（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a，a∈R，若实数a，使得f（x）=2有且仅有3个不同实数根，且它们成等差数列，则所有a的取值构成的集合为{a|a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$}．

Answer 1

分析 化简函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$，从而不妨设f（x）=2的3个根为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，讨论以确定a的值．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$，
不妨设f（x）=2的3个根为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃
当x＞a时，f（x）=2，解得x=-1，x=3；
①a≤-1，∵x₂=-1，x₃=3，∴x₁=-5，
由f（-5）=2，解得a=-$\frac{9}{5}$，满足f（x）=2在（-∞，a]上有一解．
②-1＜a≤3，f（x）=2在（-∞，a]上有两个不同的解，不妨设x₁，x₂，其中x₃=3，
所以有x₁，x₂是2a-x-$\frac{3}{x}$=2的两个解，
即x₁，x₂是x²-（2a-2）x+3=0的两个解．
得到x₁+x₂=2a-2，x₁x₂=3，
又由设f（x）=2的3个根为x₁，x₂，x₃成差数列，且x₁＜x₂＜x₃，得到2x₂=x₁+3，
解得：a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或$\frac{5-3\sqrt{33}}{8}$（舍去）；
③a＞3，f（x）=2最多只有两个解，不满足题意；
综上所述，a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$．
故答案为：{a|a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$}．

点评 本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了对勾函数的性质应用．