(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
21.(Ⅰ)解法1:依题意,可设直线AB的方程为
,整理得
①
设是方程①的两个不同的根,
∴ ②
且由N(1,3)是线段AB的中点,得
解得k=-1,代入②得,的取值范围是(12,+∞).
于是,直线AB的方程为
解法2:设则有
依题意,
∵N(1,3)是AB的中点,∴
又由N(1,3)在椭圆内,∴
∴的取值范围是(12,+∞).
直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB,∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,
代入椭圆方程,整理得
③
又设CD的中点为
是方程③的两根,
∴
于是由弦长公式可得
④
将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程得
⑤
同理可得
⑥
∵当时,
.
假设存在>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.
点M到直线AB的距离为
⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当>12时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,
为半径的圆上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:
A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形,A为直角
|AN|2=|CN|·|DN|,
即 = (
+d) (
-d)⑧
由⑥式知,⑧式左边=
由④和⑦知,⑧式右边=
-
=
∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆.)
解法2:由(Ⅱ)解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB, ∴直线CD方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得
③
将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨设
又B为A关于CD的对称点,∴A、B、C、D四点共圆.
(注:也可用勾股定理证明AC⊥AD).
科目:高中数学 来源: 题型:
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
F2P |
F2Q |
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科目:高中数学 来源:2014届浙江省绍兴市高三上学期回头考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线
:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省临海市高三第三次模拟理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左、右焦点,直线:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西南昌10所省高三第二次模拟突破冲刺理科数学(一)(解析版) 题型:解答题
如图,F1,F2是离心率为的椭圆
C:(a>b>0)的左、右焦点,直线
:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M在直线l上,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点M,使以PQ为直径的圆经过点F2,若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.
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