Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆经过，且右焦点坐标为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设A，B为椭圆的左，右顶点，C为椭圆的上顶点，P为椭圆上任意一点（异于A，B两点），直线AC与直线BP相交于点M，直线BC与直线AP相交于点N，求证：.

Answer 1

【答案】（1） （2）证明见解析

【解析】

（1）由椭圆的定义，可得，又，结合，即得解

（2）设，分别表示直线的方程，联立得到点的坐标，继而证明，即直线斜率不存在，，即，可得为等腰三角形，即得证

（1）由题意，椭圆的两个焦点坐标为，记

故

又

故椭圆的方程为：

（2）设，

故：

联立计算可得：

由于

由于在椭圆上，故，即

故，即直线斜率不存在

令线段中点为

故

故

故为等腰三角形

即得证