Question

已知函数f(x)=

3-ax

a-1

（a≠1）．
（1）若a＞0，则f（x）的定义域是

 

；
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）由当a＞0且a≠1，再由负数不能开偶次方根，有3-ax≥0求解．
（2）先看分母，当a-1＞0，即a＞1时，要使“f（x）在（0，1]上是减函数”，则分子t=

3-ax

是减函数，且3-a×1≥0成立；当a-1＜0，即a＜1时，要“使f（x）在（0，1]上是减函数”则分子t=

3-ax

是增函数，且-a＞0成立，两种情况的结果最后取并集．

解答：解：（1）当a＞0且a≠1时，由3-ax≥0得x≤

3

a

，
即此时函数f（x）的定义域是（-∞，

3

a

]．
（2）当a-1＞0，即a＞1时，要使f（x）在（0，1]上是减函数，则需3-a×1≥0，此时1＜a≤3．
当a-1＜0，即a＜1时，要使f（x）在（0，1]上是减函数，则需-a＞0，此时a＜0．
综上所述，所求实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，3]．
故答案为：（1）（-∞，

3

a

]；（2）（-∞，0）∪（1，3]

点评：本题主要考查函数的定义域及其单调性的应用，在解题时，要注意复合函数性质的应用及考虑定义域．