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3.已知函数f(x)=exlnx-aex(a∈R).
(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=$\frac{1}{e}$x+1垂直,求a的值;
(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.

分析 (1)先求出函数的导数,根据f′(1)=-e,求出a的值即可;
(2)问题转化为a≤lnx+$\frac{1}{x}$或a≥lnx+$\frac{1}{x}$,令g(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,通过求导得到g(x)的单调性,求出g(x)的最小值,从而求出a的范围

解答 解:(1)∵f′(x)=ex(lnx+$\frac{1}{x}$-a),(x>0),直线y=$\frac{1}{e}$x+1的斜率是:$\frac{1}{e}$,
∴f′(1)=e(1-a)=-e,解得:a=2;
(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调函数,
则ex(lnx+$\frac{1}{x}$-a)≥0或ex(lnx+$\frac{1}{x}$-a)≤0,
即a≤lnx+$\frac{1}{x}$或a≥lnx+$\frac{1}{x}$,
令g(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,则g′(x)=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$,
令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得:0<x<1,
∴g(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
∴g(x)最小值=g(1)=1,无最大值;
故a≤1,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,曲线的切线方程问题,是一道中档题.

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