Question

5．已知方程$\frac{{x}^{2}}{4-m}-\frac{{y}^{2}}{2+m}=1$．
（1）若方程表示双曲线，求实数m的取值范围．
（2）若方程表示椭圆，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）方程表示双曲线，即有（4-m）（2+m）＞0，解不等式即可得到所求范围；
（2）讨论焦点的位置，运用椭圆的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到m的值．

解答 解：（1）方程表示双曲线，即有
（4-m）（2+m）＞0，解得-2＜m＜4，
即m的取值范围是（-2，4）；
（2）方程表示椭圆，
若焦点在x轴上，即有4-m＞-2-m＞0，
且a²=4-m，b²=-2-m，c²=a²-b²=6，
即有e²=$\frac{3}{4}$=$\frac{6}{4-m}$，解得m=-4；
若焦点在y轴上，即有0＜4-m＜-2-m，
且b²=4-m，a²=-2-m，c²=a²-b²=-6，不成立．
综上可得m=-4．

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程和性质，注意它们的标准方程的区别，考查离心率公式的运用，属于基础题和易错题．