Question

设函数f （x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=C(C为常数)成立，则称函数f （x）在D上均值为C，给出下列四个函数①y=x³，②y=4sinx，③y=lgx，④y=2^x，
则满足在其定义域上均值为2的函数是

 

．

Answer 1

分析：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立的函数．
对于函数①y=x³，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的x2=

3	4-  x 3 1

，即可得到成立．
对于函数②y=4sinx，因为y=4sinx是R上的周期函数，明显不成立．
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．
对于函数④y=2^x，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．

解答：解：对于函数①y=x³，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 3 1 + x 3 2

2

=2，x2=

3	4-  x 3 1

，可以得到唯一的x₂∈D．故满足条件．
对于函数②y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不满足条件．
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
对于函数④y=2^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，则f（x₂）=-4，不成立．
故答案为①③．

点评：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．