【题目】某大学高等数学老师这学期分别用两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班(人数均为60人,入学数学平均分数和优秀率都相同;勤奋程度和自觉性都一样)。现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩,得到茎叶图:
(Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高?
(Ⅱ)现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率;
(Ⅲ)学校规定:成绩不低于85分的为优秀,请填写下面的列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?”
甲班 | 乙班 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
下面临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:其中
)
【答案】(Ⅰ)甲班高等数学成绩集中于60-90分之间,而乙班数学成绩集中于80-100分之间,所以乙班的平均分高.
(Ⅱ) ;
(Ⅲ)在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)甲班高等数学成绩集中于60-90分之间,而乙班数学成绩集中于80-100分之间,所以乙班的平均分高 3分
(Ⅱ)记成绩为86分的同学为,其他不低于80分的同学为
“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有:
一共15个,
“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有:共9个, 5分
故 7分
(Ⅲ)
甲班 | 乙班 | 合计 | |
优秀 | 3 | 10 | 13 |
不优秀 | 17 | 10 | 27 |
合计 | 20 | 20 | 40 |
9分
,因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。 12分
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【题目】已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x<1+m(m>0).
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若m=5,如果p和q有且仅有一个真命题,求实数x的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=23x.
(1)证明:f(x)-g(x)=23-x,并求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)解关于x不等式:g(x2+2x)+g(x-4)>0;
(3)若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-4恒成立,求实数m的最大值.
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【题目】某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响,已知某学生只选修甲的概率为0.08,只选修甲和乙的概率是0.12,至少选修一门的概率是0.88,用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(1)记“函数为
上的偶函数”为事件
,求事件
的概率;
(2)求的分布列和数学期望.
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【题目】某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.广场,为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形
区域,其中两个端点
,
分别在圆周上;观众席为梯形
内且在圆
外的区域,其中
,
,且
,
在点
的同侧.为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台
处的距离都不超过60米.设
.
(1)求的长(用
表示);
(2)对于任意,上述设计方案是否均能符合要求?
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【题目】为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况,某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按,
,
,
,
分成五组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为
类学生,低于60分的称为
类学生.
(1)根据已知条件完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为性别与是否为
类学生有关系?
|
| 合计 | |
男 | 110 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中类学生的人数为
,若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列、期望
和方差
.
参考公式:,其中
.
参考临界值:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|﹣ x,(a>0). (Ⅰ)若a=3,解关于x的不等式f(x)<0;
(Ⅱ)若对于任意的实数x,不等式f(x)﹣f(x+a)<a2+ 恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】在△ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,设函数f(x)=sin2x+cos2x,且f(
)=2.
(1)若acosB+bcosA=csinC,求角B的大小;
(2)记g(λ)=|+λ
|,若|
|=|
|=3,试求g(λ)的最小值.
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【题目】已知数列{an}的通项为an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1a2a3…an为整数的n叫做“优数”,则在(0,2015]内的所有“优数”的和为( )
A.1024
B.2012
C.2026
D.2036
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