Question

17．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=$\sqrt{3}$，SE⊥AD．
（I）证明：BE⊥SC
（II）（文）若SE=1，求点E到平面SBC的距离．
（理）若SE=1，求二面角B-SC-D平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出SE⊥BE，BE⊥CE．从而BE⊥平面SEC，由此能证明BE⊥SC．
（Ⅱ）（文）过点E作EF⊥BC于点F，连接SF．推导出BC⊥SE，从而平面SEF⊥平面SBC．过点E作EG⊥SF于点G，则线段EG的长即为三棱锥E-SBC的高，由此能求出点E到平面SBC的距离．
（理）以E为坐标原点，向量$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{ES}$分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-SC-D平面角的余弦．

解答 （本小题满分12分）．
证明：（Ⅰ）∵平面SAD⊥平面ABCD且平面SAD∩平面ABCD=AD，SE?平面SAD，SE⊥AD，
∴SE⊥平面ABCD．∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE．
∵AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，AE=ED=$\sqrt{3}$，
∴∠AEB=30°，∠CED=60°．∴∠BEC=90°，即BE⊥CE．
又SE∩CE=E，∴BE⊥平面SEC，∵SC?平面SEC，∴BE⊥SC．
解：（Ⅱ）（文）如图，过点E作EF⊥BC于点F，连接SF．
由（1）知SE⊥平面ABCD，而BC?平面ABCD，∴BC⊥SE，
又SE∩EF=E，∴BC⊥平面SEF，
∵BC?平面SBC，∴平面SEF⊥平面SBC．
过点E作EG⊥SF于点G，
则EG⊥平面SBC，即线段EG的长即为三棱锥E-SBC的高．
由（1）易知，BE=2，CE=2$\sqrt{3}$，
则BC=4，EF=$\sqrt{3}$．在Rt△SEF中，SE=1，SF=$\sqrt{SE2+EF2}$=2，
则EG=$\frac{ES•EF}{SF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点E到平面SBC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（理）以E为坐标原点，向量$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{ES}$分别为x，y，z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则S（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{SB}$=（2，0，-1_，$\overrightarrow{SC}$=（0，2$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-$\frac{3}{2}，-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），
设平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=2x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=2\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，令z=6，则x=3，y=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，6），
设平面SDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}a-\frac{3\sqrt{3}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=2\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则x=-$\sqrt{3}$，z=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{3}$），
设二面角B-SC-D平面角为θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{10\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}$=$\frac{5}{8}$，
∴二面角B-SC-D平面角的余弦值为$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点E到平面SBC的距离的求法，考查二面角平面角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用．