Question

3．如果椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的一条弦被点（4，2）平分，则该弦所在的直线方程是（　　）

• A． x-2y=0
• B． 2x-3y-2=0
• C． x+2y-8=0
• D． x-2y-8=0

Answer 1

分析 设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①-②后化简得到一个关系式，然后根据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．

解答 解：设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{36}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}$=1②，
①-②式可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$=0，
又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
∴$\frac{8}{36}$（x₁-x₂）-$\frac{4}{9}$（y₁-y₂）=0
即得k_EF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），即x+2y-8=0．
故选：C

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．