Question

已知正△ABC的顶点A在平面α内，顶点B，C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α内的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的最小值为

6

3

．

Answer 1

分析：而当BC∥α时，其B、D、C三点的射影分别为B₁，D₁，C₁时，且∠B₁AC₁=90°．∠DAD₁为直线AD与平面α所成角且最小．求出即可．

解答：解：如图所示，不妨设AB=2．则AD=

3

．
假设一开始正△ABC在平面α内时的位置，则∠BAC=60°．
而当BC∥α时，其B、D、C三点的射影分别为B₁，D₁，C₁时，且∠B₁AC₁=90°．
∠DAD₁为直线AD与平面α所成角且最小．
则AD1=

1

2

B1C1=

1

2

BC=1，∴DD1=

AD2-A D 2 1

=

2

．
此时sin∠DAD1=

DD1

AD

=

2

3

=

6

3

．
当BC与平面α部平行时，可以看出：其DD₁长度必然增大．
因此直线AD与平面α所成角的正弦值的最小值为

6

3

．
故答案为

6

3

．

点评：正确找出直线AD与平面α所成角的正弦值的最小值时的位置是解题的关键．