Question

设函数f（x）=x²+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|x²+x-2|对一切x∈R恒成立；定义数列{a_n}满足：a1=2，an=f(

an-1

)+3(x≥ 2)．
（1）求a、b的值；
（2）求证：

(n+1)2

4

＜an≤5•(

3

2

)n-1-3  （n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由|f（x）|≤|x²+x-2|=|（x+2）（x-1）|知a=1，b=-2，由此可知f（x）；
（2）先验证：当n=1时，1=

(1+1)2

4

＜a1≤5•(

3

2

)1-1-3成立；再考察：当n≥2时利用条件得出：

a n

＞

a n-1

+

1

2

从而an＞

(n+1) 2

4

(n≥2)最后结合放缩法即可证得结论．

解答：解：（1）由|f（x）|≤|（x+2）（x-1）|得f（-2）=0，f（1）=0，
故a=1，b=-2，∴f（x）=x²+x-2；
（2）当n=1时，1=

(1+1)2

4

＜a1≤5•(

3

2

)1-1-3成立
当n≥2时，an=f(

an-1

)+3=an-1+

an-1

+1
∴a_n=（

a n-1

+

1

2

）²+

3

4

＞=（

a n-1

+

1

2

）²，
∴

a n

＞

a n-1

+

1

2

∴当n≥2时，

a n

=(

a n

-

a n-1

)+(

a n-1

-

a n-2

)+…+(

a 2

-

a 1

)+

a 1

＞

n-1

2

+

2

＞

n+1

2

∴an＞

(n+1) 2

4

(n≥2)
又a_n=a _n-1+

a n-1

+1＜a _n-1+1+

a n-1+1

2

=

3

2

+

3

2

a_n-1，（n≥2）
从而a_n+3＜

3

2

（a _n-1+3）
∴当n≥2时，
a_n+3＜（

3

2

）²（a _n-2+3）＜…＜（

3

2

）^n-1（a₁+3）=5（

3

2

）^n-1
∴a_n≤5（

3

2

）^n-1-3
所以n∈N^*时，

(n+1)2

4

＜an≤5•(

3

2

)n-1-3

点评：本题考查数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答．