Question

已知函数f（x）=x³+3mx²+nx+5m，在x=-1处有极值0；
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=3x²+6mx+n，得方程组

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+5m=0

，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），即可得出函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+6mx+n
∴

f′(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+5m=0

，
解得：m=-1，n=-9．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
∴当-1＜x＜3时，f’（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞3 或 x＜-1 时，f’（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在x=-1处有极值，
∴f（x）的减区间是（-1，3）；增区间是（-∞，-1），（3，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，求函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．