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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中A01)为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为,则实数a的值为_____

【答案】3

【解析】

设直线AB的方程为ykx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0),联立方程得到B),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.

设直线AB的方程为ykx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0

消去y,得(1+a2k2x2+2a2kx0,所以x0x

A的坐标(01),∴B的坐标为(k1),即B),

因此AB

同理可得:AC.

RtABC的面积为SABAC

t,得S.

t2,∴SABC.

当且仅当,即t时,△ABC的面积S有最大值为.

解之得a3a.

a时,t2不符合题意,∴a3.

故答案为:3.

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