Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=5，AD⊥CD，cos∠ADB=$\frac{9}{16}$，∠DCB=135°，则BC=$\frac{27\sqrt{2}}{8}$．

Answer 1

分析 在△ABD中，利用余弦定理可解得BD，然后在△BCD中利用正弦定理解出BC．

解答 解：∵cos∠ADB=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$，
∴$\frac{9}{16}$=$\frac{16+B{D}^{2}-25}{8BD}$，
解得BD=6，
∵AD⊥CD，
∴sin∠BDC=cos∠ADB=$\frac{9}{16}$，
在△BCD中，由$\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{BD}{sin∠DCB}$
得：$\frac{BC}{\frac{9}{16}}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=6$\sqrt{2}$，∴BC=$\frac{27\sqrt{2}}{8}$．
故答案为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了利用正余弦定理解三角形，属于中档题．