Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，AB=BC=2 ，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．

（1）求证：BC1⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，AB=BC=2 ，∠AA1C1=60°，

∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等腰三角形，

同理△ABC1是等腰三角形，

∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，

∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，所以过B作平面AA1C1C的垂线，垂足在AC1上，

三角形ABC是等腰三角形，取AC的中点E，连结CE，EB，可知BE⊥AC，C1E⊥AC，所以AC⊥平面BEC1，

过B作平面AA1C1C的垂线，垂足在EC1上，可得垂足是C1．

∴BC1⊥平面AA1C1C

（2）解：由（1）可得C1B=2，以点D为坐标原点，DA、DC、DM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，M为AB的中点，A（1，0，0）；B（﹣1，0，2）C（0， ，0），D（0，0，0），

平面ABC1的一个法向量为 =（0，1，0），设平面ABC的法向量为 =（x，y，z），

由题意可得 =（﹣1， ，0）， =（﹣2，0，2），则 ，

所以平面ABC的一个法向量为 =（ ，1， ），

∴cosθ= = =

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于 ．

【解析】（1）说明过B作平面AA1C1C的垂线，垂足在AC1上，取AC的中点E，连结CE，EB，说明过B作平面AA1C1C的垂线，垂足在EC1上，推出垂足是C1 ． 然后证明结论．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．