Question

已知函数f（x）=ax³+

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bx²（a，b∈R，a＞b且a≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）试写出a与b的关系式；
（2）若函数y=f（x）在区间[b，a]上有最大值为a-b²，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求得函数f（x）的导数，求出切线的斜率，即可得到a，b的关系式；
（2）令f′（x）＞0得增区间，令f′（x）＜0得减区间，进而得到极大值点和极小值点，对a讨论，①当0＜a≤3时，②当a＞3时，求得最大值，解方程即可得到所求a的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax³+

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bx²（a，b∈R，a＞b且a≠0）
的导数f′（x）=3ax²+3bx，
由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，
知f′（2）=0，∴b=-2a；
（2）令f′（x）=3ax²+3bx，=3ax²-6ax=0，
得x=0或x=2．
∵a＞b，∴a＞0，b＜0，令f′（x）＞0得x＜0或x＞2，
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，于是f（x）在（-∞，0）为增，在（0，2）为减，
（2，+∞）为增，∴x=0为f（x）的极大值点，x=2是极小值点，
令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3，
①当0＜a≤3时，f（x）_max=f（0）=0，∴a-b²=0，
又b=-2a，0＜a≤3，解得a=

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；
②当a＞3时，f（x）_max=f（a）=a⁴-3a³，
∴a⁴-3a³=a-b²，代入b=-2a
得a³-3a²+4a-1=0．
记g（a）=a³-3a²+4a-1，
∵g′（a）=3a²-6a+4=3（a-1）²+1＞0，
∴g（a）在R上是增函数，又a＞3，∴g（a）＞g（3）=11＞0，
∴g（a）=0在（3，+∞）上无实数根．
综上，a的值为

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．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，函数的单调性的应用，考查运算能力，属于中档题和易错题．