Question

已知函数f（x）=log₂（x+t），且f（0），f（1），f（3）成等差数列，点P是函数y=f（x）图象上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g（x）的图象．
（1）解关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0；
（2）当x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：根据f（0），f（1），f（3）成等差数列，可得2log₂（1+t）=log₂t+log₂（3+t），从而有f（x）=log₂（x+1），根据P、Q关于原点对称，可得g（x）=-log₂（1-x）
（1）2f（x）+g（x）≥0等价于

1+x＞0 1-x＞0 (1+x)2≥1-x

，由此可得不等式的解集；
（2）y=2f（x）+g（x）=2log₂（1+x）-log₂（1-x），当x∈[0，1）时2f（x）+g（x）≥m恒成立，即在当x∈[0，1）时log2

(1+x)2

1-x

≥log22m恒成立，即2m≤

(1+x)2

1-x

，求出右边函数的最小值，即可求得m的取值范围．

解答：解：由f（0），f（1），f（3）成等差数列，得2log₂（1+t）=log₂t+log₂（3+t），
即（t+1）²=t（t+3）（t＞0），∴t=1
∴f（x）=log₂（x+1）
由题意知：P、Q关于原点对称，设Q（x，y）函数y=g（x）图象上任一点，则P（-x，-y）是f（x）=log₂（x+1））上的点，所以-y=log₂（-x+1），于是g（x）=-log₂（1-x）
（1）∵2f（x）+g（x）≥0，∴

1+x＞0 1-x＞0 (1+x)2≥1-x

，∴0≤x＜1
∴不等式的解集是{x|0≤x＜1}
（2）y=2f（x）+g（x）=2log₂（1+x）-log₂（1-x），当x∈[0，1）时2f（x）+g（x）≥m恒成立，
即在当x∈[0，1）时log2

(1+x)2

1-x

≥log22m恒成立，即2m≤

(1+x)2

1-x

，
设φ（x）=

(1+x)2

1-x

=(1-x)+

4

x-1

-4，
∵0≤x＜1，∴1-x＞0
∴函数φ（x）在[0，1）上单调递增
∴φ（x）_min=1
∴2^m≤1
∴m≤0．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查解不等式，考查恒成立问题，正确分离参数，求函数的最值是关键．