Question

已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足．
（1）设c_n=3n+6，{a_n}是公差为3的等差数列．当b₁=1时，求b₂、b₃的值；
（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N^*，均有b_n≥b_k；
（3）设，．当b₁=1时，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵a_n+1-a_n=3，
∴b_n+1-b_n=n+2，
∵b₁=1，
∴b₂=4，b₃=8．
（2）∵．
∴a_n+1-a_n=2n-7，
∴b_n+1-b_n=，
由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即b₄＜b₅＜b₆…；
由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即b₁＞b₂＞b₃＞b₄．
∴k=4．
（3）∵a_n+1-a_n=（-1）ⁿ⁺¹，
∴b_n+1-b_n=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+n）．
∴b_n-b_n-1=（-1）ⁿ（2^n-1+n-1）（n≥2）．
故b₂-b₁=2¹+1；
b₃-b₂=（-1）（2²+2），
…
b_n-1-b_n-2=（-1）^n-1（2^n-2+n-2）．
b_n-b_n-1=（-1）ⁿ（2^n-1+n-1）．
当n=2k时，以上各式相加得
b_n-b₁=（2-2²+…-2^n-2+2^n-1）+[1-2+…-（n-2）+（n-1）]
=+=+．
∴b_n==++．
当n=2k-1时，

=++-（2ⁿ+n）
=--+
∴b_n=．
分析：（1）先根据条件得到数列{b_n}的递推关系式，即可求出结论；
（2）先根据条件得到数列{b_n}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；
（3）先根据条件得到数列{b_n}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{b_n}的通项公式，最后综合即可．
点评：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用．是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目．