Question

已知:如图，等腰直角三角形的直角边，沿其中位线将平面折起，使平面⊥平面，得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、.

（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：平面平面；
（3）求异面直线与所成的角.

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

试题分析：（1）要证四点共面，只需找到一个平面，这四个点都在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；（2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件即可；（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可.
试题解析：(1)由条件有为的中位线，为梯形的中位线
∥，∥ 

四点共面        3分
（2）证明:由等腰直角三角形有，
又，面   又∥
平面，平面
平面平面        6分
(3)由条件知
延长到，使，连结      8分
则，故为平行四边形    10分
，又

为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）        11分
，且三线两两互相垂直
∴由勾股定理得        12分
ACR为正三角形，＝，异面直线与所成的角大小为    13分.