Question

（2010•河东区一模）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形．ABEF是矩形，G是线段EF的中点，且B点在平面ACG内的射影在CG上．
（1）求证：AG上平面BCG；
（2）求直线BE与平面ACG所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）设B点在平面AGC内的射影为H，则H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，则BC⊥平面ABEF，可得BC⊥AG，根据线面垂直的判定定理可知AG⊥平面BGC；
（2）延长AG、BE交于K，连HK，因为BH⊥面ACG，所以∠KHB即为直线BE与平面ACG所成角，求出BH、BK，即可求得结论．

解答：（1）证明：设B点在平面AGC内的射影为H，则H在CG上，
由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，
∵ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，又AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG，又BH、BC?平面BCG，
∴AG⊥平面BCG；
（2）解：延长AG、BE交于K，连HK，
因为BH⊥面ACG，所以∠KHB即为直线BE与平面ACG所成角．
由（1）知，AG⊥平面BCG，故AG⊥BG，
∵AF=BE=

1

2

AB，BG=

2

2

AB，
∴BH=

BC•BG

CG

=

AB• 2 2 AB

6 2 AB

=

3

3

AB．
∴sin∠KHB=

BH

BK

=

3

3

．
∴直线BE与平面ACG所成角为arcsin

3

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的性质和二面角的度量，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．