Question

11．对任意的x∈（0，m]，不等式（a-lnx）（a-e^x）≤0恒成立，则a•m的最大值为e．

Answer 1

分析 分析可知当x＞0时，lnx＜e^x，对任意的x∈（0，m]，不等式（a-lnx）（a-e^x）≤0恒成立，
只需要a-lnx≥0，a-e^x≤0恒成立，即a≥lnx，a≤e^x，只需求出右式的最值即可．

解答 解：容易证明，当x＞0时，lnx＜e^x，
∴a-lnx＞a-e^x，
∵对任意的x∈（0，m]，不等式（a-lnx）（a-e^x）≤0恒成立，
∴a-lnx≥0，a-e^x≤0恒成立，
∴a≥lnx，a≤e^x恒成立，
∵lnx，e^x都是增函数，
∴lnx≤lnm，e^x＞1，
∴lnm≤a≤1，可知lnm≤1
∴0＜m≤e，
∴0＜am≤e．
故a•m的最大值为e．

点评 考查了因式积的形式的恒成立问题，可以分析两式的大小，减少讨论，把恒成立问题转换为最值问题进行求解．