已知函数,其中是自然对数的底数,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,试确定函数的零点个数,并说明理由.
(Ⅰ)的单调减区间为;单调增区间为;(Ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求导得,,因为,所以的解集为,即单调递增区间;的解集为,即单调递减区间;(Ⅱ)函数,令,得,显然是一个零点,记,求导得,易知时递减;时递增,故的最小值,又,故,即,所以函数的零点个数1个.
试题解析:(Ⅰ)解:因为,,所以.
令,得.当变化时,和的变化情况如下:
↘ |
| ↗ |
故的单调减区间为;单调增区间为.
(Ⅱ)解:结论:函数有且仅有一个零点. 理由如下:
由,得方程, 显然为此方程的一个实数解.
所以是函数的一个零点. 当时,方程可化简为.设函数,则,令,得.
当变化时,和的变化情况如下:
↘ |
| ↗ |
即的单调增区间为;单调减区间为.所以的最小值.
因为 , 所以,所以对于任意,,因此方程无实数解.所以当时,函数不存在零点.综上,函数有且仅有一个零点. 考点:1、导数在单调性上的应用;2、函数的极值和最值;3、函数的零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)已知函数(其中是自然对数的底数,为正数)
(I)若在处取得极值,且是的一个零点,求的值;(II)若,求在区间上的最大值;(III)设函数在区间上是减函数,求的取值范围。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2013-2014学年广东华附、省高三上学期期末联考理数学卷(解析版) 题型:解答题
已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)求函数的零点;
(2)若对任意均有两个极值点,一个在区间内,另一个在区间外,
求的取值范围;
(3)已知且函数在上是单调函数,探究函数的单调性.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2013-2014学年北京市西城区高三上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数,其中是自然对数的底数,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,求函数的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2014届河北省高三上学期一调考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数,其中是自然对数的底数,.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求的单调区间;
(3)若,函数的图象与函数的图象有3个不同的交点,求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2014届河北省石家庄市高二下学期期中考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知函数,其中是自然对数的底数,.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求的单调区间;
(3)若,函数的图象与函数的图象有3个不同的交点,求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com