Question

【题目】椭圆E： （a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2 ， D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由△DGF2的周长是8，得：4a=8，解得：a=2，
由|DF1|=3|GF1|且G在DF1的延长线上，
得 = ，设G（x0 ， y0），
则（x0 ， y0﹣b）= （﹣c，﹣b），x0=﹣ c，y0=﹣ b，
由 =1，解得：c2=2，
∴b2=2，椭圆E的方程是 =1；
（Ⅱ）A（﹣2，0），直线AB、AC均有斜率，
设AB：y=k（x+2），AC：y=﹣ （x+2），
由 ，得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0，
解得：x1=﹣2，x2=﹣ ，
当x2=﹣ 时，y2=
∴B（﹣ ， ），
同理C（ ，﹣ ），
直线BC的方程是3kx+2（k2﹣1）y+2k=0，
直线BC恒过定点（﹣ ，0）
【解析】（Ⅰ）根据三角形的周长求出a的值，设G（x0 ， y0），求出b，c的值，从而求出椭圆E的方程即可；（Ⅱ）分别设出AB，AC的斜率，联立直线和圆的方程组，分别求出B、C的坐标，求出直线BC的方程，从而求出直线恒过的定点即可．