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    2014年巴西世界杯刚结束，某足球协会为了调查球迷对本届世界杯的了解情况，组织了“世界杯你问我答一百问”活动，该协会从参加活动的球迷（人数不少于1000人）中随机抽取12名球迷．进行世界杯知识问卷测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如右图所示，根据主办方标准．测试成绩低于80分的为“伪球迷”，不低于80分的为“真球迷”．
    （1）写出测试成绩的中位数和平均数，并根据所求数据对参加活动的球迷情况进行评估：
    （2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若再这批球迷中任选4人进行世界杯知识问卷调查，求至多有1人是“真球迷”的概率．
    （3）从抽取的12名球迷中随机选取3人，记ξ表示“真球迷”的人数，求ξ的分布列及期望．
    考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,离散型随机变量及其分布列
    专题：概率与统计
    分析：（1）由茎叶图能求出测试成绩的中位数和测试成绩的平均数，由此得到参加活动的球迷测试成绩的中位数和测试成绩的平均数都在80分以上．
    （2）由茎叶图得到12名球迷中有8名是真球迷，将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，得这批球迷中真球迷的概率为
    2
    3
    ，任选4人进行世界杯知识问卷调查，“真球迷”的个数X～B（4，
    2
    3
    ），由此能求出至多有1人是“真球迷”的概率．
    （3）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
    解答： 解：（1）由茎叶图知测试成绩的中位数为：
    86+86
    2
    =86    分，
    测试成绩的平均数为：
    .
    x
    =
    1
    12
    （51+64+66+78+85+86+86+86+87+87+92+98）=80.5．
    由此得到参加活动的球迷测试成绩的中位数和测试成绩的平均数都在80分以上，
    达到
    2
    3
    的球迷是真球迷．
    （2）由茎叶图得到12名球迷中有8名是真球迷，将频率视为概率，
    根据样本估计总体的思想，得这批球迷中真球迷的概率为
    2
    3
    ，
    任选4人进行世界杯知识问卷调查，“真球迷”的个数X～B（4，
    2
    3
    ），
    ∴至多有1人是“真球迷”的概率：
    P=P（X=0）+P（X=1）
    =
    C
    0
    4
    (
    1
    3
    )4+
    C
    1
    4
    (
    2
    3
    )(
    1
    3
    )3    =
    1
    9
    ．
    （3）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
    P（ξ=0）=
    C
    3
    4
    C
    3
    12
    =
    1
    55
    ，
    P（ξ=1）=
    C
    1
    8
    C
    2
    4
    C
    3
    12
    =
    12
    55
    ，
    P（ξ=2）=
    C
    2
    8
    C
    1
    4
    C
    3
    12
    =
    28
    55
    ，
    P（ξ=3）=
    C
    3
    8
    C
    3
    12
    =
    14
    55
    ，
    ∴ξ的分布列为：
    ξ 01 2 3
     P 
    1
    55
    		 
    12
    55
    		 
    28
    55
    		 
    14
    55
    Eξ=0×
    1
    55
    +1×
    12
    55
    +2×
    28
    55
    +3×
    14
    55
    =2．
    点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一，解题时要注意茎叶图的合理运用．
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    ．

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