Question

设函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax，g（x）=2x+b，当x=1+

2

时，f（x）取得极值．
（1）求a的值，并判断f(1+

2

)是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数在极值点的导数等于0，求出a的值，再根据导数在极值点左侧、右侧的符号，判断是极大值还是极小值．
（2）设f（x）=g（x），则得 b=

1

3

x3-x2-3x．设F(x)=

1

3

x3-x2-3x，G（x）=b，由F'（x）的符号判断
函数F（x）的单调性和单调区间，从而求出F（x）的值域，由题意得，函数F（x）与G（x）的图象有两个公共点，
从而得到b的取值范围．

解答：解：（1）由题意f'（x）=x²-2x+a，
∵当x=1+

2

时，f（x）取得极值，
∴所以f′(1+

2

)=0，
∴(1+

2

)2-2(1+

2

)+a=0，
∴即a=-1
此时当x＜1+

2

时，f'（x）＜0，
当x＞1+

2

时，f'（x）＞0，
则f(1+

2

)是函数f（x）的最小值．
（2）设f（x）=g（x），则

1

3

x3-x2-3x-b=0，b=

1

3

x3-x2-3x，
设F（x）=

1

3

x3-x2-3x，G（x）=b，F'（x）=x²-2x-3，令F'（x）=x²-2x-3=0解得x=-1或x=3，
∴函数F（x）在（-3，-1）和（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数．
当x=-1时，F（x）有极大值F（-1）=

5

3

；当x=3时，F（x）有极小值F（3）=-9，
∵函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，F（-3）=-9，F（4）=-

20

3

，
∴函数F（x）与G（x）的图象有两个公共点，结合图象可得
∴-

20

3

＜b＜

5

3

或b=-9，
∴b∈(-

20

3

，

5

3

)∪{-9}．

点评：本题考查函数在极值点的导数等于0，利用导数的符号判断函数的单调性及单调区间、极值，求函数在闭区间上的值域．