Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n+2是S_n和8的等比中项
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an•an+1

，记{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

1

8

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+2是S_n和8的等比中项得到数列{a_n}的递推式8Sn=(an+2)2，然后取n=1求得数列首项，再取n=n+1得另一递推式，作差后即可得到数列{a_n}是首项为2，公差为4的等差数列，由等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

1

an•an+1

，然后利用裂项相消法求和，放缩后即可证得数列不等式
T_n＜

1

8

．

解答： （1）解：∵a_n+2是S_n和8的等比中项，
∴8Sn=(an+2)2，①
当n=1时a₁=S₁，8a1=(a1+2)2，解得a₁=2，
又8Sn+1=(an+1+2)2，②
②-①得，8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2，则（a_n+1+a_n）•（a_n+1-a_n-4）=0．
又∵{a_n}各项为正数，
∴（a_n+1+a_n）≠0⇒（a_n+1-a_n-4）=0⇒a_n+1-a_n=4，
∴数列{a_n}是首项为2，公差为4的等差数列．
则a_n=2+4（n-1）=4n-2；
（2）证明：bn=

1

an•an+1

=

1

(4n-2)(4n+2)

=

1

4

(

1

(4n-2)

-

1

(4n+2)

)，
则Tn=b1+b2+…bn=

1

4

(

1

2

-

1

6

+

1

6

-

1

10

+…+

1

(4n-2)

-

1

(4n+2)

)
=

1

4

(

1

2

-

1

4n+2

)=

1

8

(1-

1

2n+1

)．
又∵n≥1，∴Tn＜

1

8

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．