Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝AB．

（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）在平面内找一条直线与已知直线平行，通过线线平行可证；（Ⅱ）利用空间向量可求.
试题解析：(Ⅰ) 如图，连结AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁的中点．
又D是AB的中点，连结DF，则BC₁∥DF．
∵BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．                        4分
（Ⅱ）由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．

设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A₁(2，0，2)，
∴＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．
设n＝(x₁，y₁，z₁)是平面A₁CD的法向量，则
即，可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面A₁CE的法向量，则
，可取m＝(2，1，－2)．
从而cos＜n，m＞＝＝， ∴sin＜n，m＞＝．
故二面角D-A₁C-E的正弦值为．                 12分
考点：线面平行关系，二面角，空间向量的求解.