Question

已知两正数a，b满足a+b=

1

2

，求证：

1

a

+

4

b

≥18．

Answer 1

分析：由已知可得，2a+2b=1，不等式的左边即(

1

a

+

4

b

)(2a+2b)=2+

2b

a

+

8a

b

+8  使用基本不等式证得不等式成立．

解答：证明：由a+b=

1

2

知，2a+2b=1，
∴

1

a

+

4

b

=(

1

a

+

4

b

)(2a+2b)=2+

2b

a

+

8a

b

+8=10+2(

b

a

+

4a

b

)≥10+2×4=18，…（10分）
当且仅当

b

a

=

4a

b

时取等号，此时a=

1

6

，b=

1

3

．…（12分）

点评：本题主要考查利用基本不等式证明不等式，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于中档题．