Question

下列四个结论：
①幂函数y=x^α的图象与与直线y=x可能有三个交点；
②若b≤0，则函数y=a^x+b-1（a＞0，a≠1）的图象不经过第一象限；
③若x+x^-1=3，则x

1

2

-x-

1

2

=1；
④函数y=

x-4

mx2+4mx+3

定义域为R，则m的取值范围为[0，

3

4

）；
其中正确结论个数为（　　）

Answer 1

分析：①：可举例验证①是否正确
②：分类讨论a的范围，结合指数函数的图象变换可验证②是否正确
③：把x

1

2

-x-

1

2

平方后，化简，再开方，可验证③是否正确
④：把条件转化，即得mx²+4mx+3≠0在R上恒成立，分类讨论，可得m的范围，即可验证④是否正确

解答：解：对于①：y=x³与y=x有三个交点∴①正确
对于②：当a＞1时，图象过第一象限∴②不正确
对于③：∵x+x^-1=3
∴(x

1

2

-x-

1

2

) 2=x+x-1-2=3-2=1
∴x

1

2

-x-

1

2

=± 1
∴③不正确
对于④：∵y=

x-4

mx2+4mx+3

的定义域为R
∴mx²+4mx+3≠0对x∈R恒成立
∴当m=0时，得3≠0，显然成立，∴m=0符合题意
当m≠0时，由题意知

m＞0 16m2

-13m＜0
解得0＜m＜

3

4

∴当原函数定义域为R时，m的取值范围为[0，

3

4

)
∴④正确
综上所述，正确的结论有①④
故选A

点评：本题考查指数函数、幂函数的图象，指数运算以及函数定义域问题，要求对指数函数幂函数的图象及图象变换熟练掌握，对恒成立问题要注意分类讨论．属简单题