Question

【题目】已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer 1

【答案】解：设点P、Q的坐标分别为（x1 ， y1）、（x2 ， y2）．
由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即 .①
联立 得5x2＋10x＋4m－27＝0，②
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝ . ③
∵P、Q是在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝ （3－x1）· （3－x2）＝ [9－3（x1＋x2）＋x1x2]．
将③代入，得y1y2＝ . ④
将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ>0成立，
∴m＝3
【解析】将直线和圆进行联立，利用根与系数之间的关系建立条件方程，利用韦达定理和两向量垂直的性质可以求出m的值来。
【考点精析】掌握数量积判断两个平面向量的垂直关系是解答本题的根本，需要知道若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直．