Question

如图是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的大致图象，则

x

2 1

+

x

2 2

=

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：由图象知f（x）=0的根为-1，0，2，求出函数解析式，x₁和x₂是函数f（x）的极值点，故有x₁和x₂ 是f′（x）=0的根，可结合根与系数求解．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，由图象知，-1+a+b+c=0，0+0+0+c=0，8+4a+2c+b=0，
∴c=0，a=-1，b=-2
∴f′（x）=3x²-2x-2．
由题意有x₁和x₂是函数f（x）的极值点，故有x₁和x₂ 是f′（x）=0的根，
∴x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=-

2

3

．
则x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

4

9

+

4

3

=

16

9

，
故答案为：

16

9

．

点评：本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数，属中档题．