Question

2．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4S_n-1=a_n²+2a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过4S_n-1=a_n²+2a_n，令n=1可得首项，当n≥2时，利用4a_n=a_n²+2a_n-（a_n-1²+2a_n-1）可得公差，进而可得结论．
（2）由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂项求和法能证明$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 （1）解：当n=1时，4a₁=4S₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁+1，
解得a₁=1．
当n≥2时，4S_n=a_n²+2a_n+1，4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1，
相减得4a_n=a_n²+2a_n-（a_n-1²+2a_n-1），即a_n²-a_n-1²=2（a_n+a_n-1），
又a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，则a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$，
（T_n）_min=T₁=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2×1+1}）$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．