Question

已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）求圆锥的体积；
（2）求M，N两点在圆锥侧面上的最短距离．

Answer 1

解：（1）设OA中点C，连接NC、CM，则NC∥SO，
故∠MNC即为NM与高SO所成的角α，（2分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（4分）
又，即，（5分）
从而圆锥的体积（7分）
（2）作圆锥的侧面展开图，线段MN即为所求最短距离．（8分）
由已知OM⊥SO，OM⊥SA?OM⊥OA，
故M是弧AB的中点，即M是扇形弧的点．（10分）
因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，
由（1）知，所以母线SA=3，
从而扇形的中心角为，所以（12分）
在三角形MSA中，由余弦定理得（14分）
分析：（1）设OA中点C，连接NC、CM，利用直线与平面所成角的定义得∠MNC即为NM与高SO所成的角α再结合条件解三角形得出高长，最后利用锥体体积公式求得圆锥的体积；
（2）最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个三角形，然后根据余弦定理进行计算．
点评：本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．