Question

ABCD-A₁B₁C₁D₁是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA₁→A₁D₁，…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB₁，…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i∈N^*），设黑白蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（　　）

• A．

  2

• B．1
• C．0
• D．

  3

Answer 1

分析：先根据题意，先通过前几步爬行，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．再计算黑蚂蚁爬完2007段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2007段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可．

解答：解：由题意，黑蚂蚁爬行路线为AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA，
即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，白蚂蚁也是过6段后又回到起点．
所以黑蚂蚁爬完2004段后回到A点，再爬3段：AA₁→A₁D₁→D₁C₁到达第三段的终点C₁，
同理，白蚂蚁爬完2004段后到回到A点，再爬3段：AB→BB₁→B₁C₁达第三段的终点C₁．
所以它们此时的距离为0．
故选C．

点评：本题以一个创新例子为载体，考查归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于基础题．