Question

已知tanα=

1

7

，tanβ=

1

3

，且α，β∈(0，

π

4

)，则α+2β=

 

．

Answer 1

分析：利用二倍角的正切可求得tan2β，再利用两角和的正切求得tan（α+2β）即可．

解答：解：∵tanα=

1

7

，tanβ=

1

3

，α，β∈（0，

π

4

），
∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

，
∴tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=

25 28

1- 3 28

=1，
∵tan2β=

3

4

＜1，
∴0＜2β＜

π

4

，又α∈（0，

π

4

），
∴0＜α+2β＜

π

2

，
∴α+2β=

π

4

．
故答案为：

π

4

．

点评：本题考查两角和的正切，考查分析与运算能力，属于中档题．