Question

如图，四边形中（图1），，中点为，将图1沿直线折起，使二面角为（图2）
 
（1）过作直线平面，且平面=，求的长度。
（2）求直线与平面所成角的正弦值。

Answer 1

（1）（2）

试题分析：因为，中点为，连接AF，EF．

∵∴AF⊥BD，
∵，∴DB²+DC²=BC²，∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，
∵平面，DB=2，∴EF为△BCD的中位线，∴EF∥CD，且EF=CD，
∴EF⊥BD，EF=，
∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角，∠AFE=60°．∴△ABD为等腰直角三角形，∴AF=BD=1，
∴AE=，在直角三角形DFE中，.
(2)以F为原点，FB所在直线为x轴，FE所在直线为y轴，平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E(0，，0)，A(0，，)，
D（-1，0，0），C（-1，1，0）,

则=(1,-，-) ，  =(0，-1,0)，=(-1,-，-)，。
设平面ACD的法向量为
=（x，y，z），
则，
∴，y=0，
令x=，则z=-2，∴=(，0，-2)，故由公式可得直线与平面所成角的正弦值为。
点评：中档题，立体几何问题中，平行关系、垂直关系，角、距离、面积、体积等的计算，是常见题型，基本思路是将空间问题转化成为平面问题，利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作，二证，三计算”。通过建立空间直角坐标系，利用空间向量，可简化证明过程。