Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，与椭圆的另一个交点为点C，若F恰好为线段AB的中点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若FC=

2

3

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得2c=

a2

c

，从而可求得椭圆的离心率；
（2）由（1）可知直线AB的方程为y=x-c，设C（x₀，x₀-c），将其代入椭圆方程，可求得x₀，利用两点间的距离公式表示出FC=

2

3

，可求得c，从而可求得椭圆的方程．

解答：解（1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c=

a2

c

，…（2分）
即

c2

a2

=

1

2

，所以椭圆的离心率e=

2

2

…（4分）
（2）由（1）知a=

2

c，b=c，所以直线AB的方程为y=x-c，
设C（x₀，x₀-c），因为点C在椭圆上，所以

x02

2c2

+

(x0-c)2

c2

=1，…（6分）
即x02+2（x₀-c）²=2c²，
解得x₀=0（舍去），x₀=

4

3

c．
所以C为（

4

3

c，

1

3

c），…（8分）
因为FC=

2

3

，由两点距离公式可得（

4

3

c-c）²+（

1

3

c）²=

4

9

，
解得c²=2，所以a=2，b=

2

，
所以此椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．    …（10分）

点评：本题考查椭圆的简单性质（求离心率），考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想与化归思想的综合应用，属于中档题．