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某企业有一条价值为m万元的生产流水线,要提高其生产能力,提高产品的产值,就要对该流水线进行技术改造,假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足:①y与(m-x)x2成正比;②当x=
m
2
时,y=
m3
2
;③0≤
x
4(m-x)
≤a
,其中a为常数,且a∈[0,2]
(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式;
(2)求产值y的最大值,并求出此时x的值.
分析:(1)根据y与(m-x)x2成正比,建立关系式,再根据②求出比例系数,得到函数f(x)的表达式,再求函数的定义域时,要注意条件③的限制性.
(2)本题为含参数的三次函数在特定区间上求最值,利用导数研究函数在给定区间上的单调性即可求出最大值,注意分类讨论.
解答:解:(1)∵y与(m-x)x2成正比,∴设y=f(x)=k(m-x)x2,又x=
m
2
时,y=
m3
2

∴解得k=4,从而有y=4(m-x)x2…(2分)
0≤
x
4(m-x)
≤a
解得0≤x≤
4am
1+4a

故f(x)=4(m-x)x2(0≤x≤
4ma
1+4a
)
…(4分)
(2)∵f(x)=4mx2-4x3,∴f'(x)=4x(2m-3x)
令f'(x)=0解得x1=0,x2=
2
3
m
…(5分)
(ⅰ) 若,即
1
2
≤a≤2
,当x∈(0,
2
3
m)
时,f'(x)>0
所以f(x)在[0,
2
3
m]
上单调递增;
2m
3
<x<
4am
1+4a
时,f'(x)<0,由于f(x)在[
2m
3
4am
1+4a
]
上单调递减,
故当x=
2
3
m
时,f(x)取得最大值f(
2
3
m)=
16
27
m3
…(8分)
(ⅱ) 若
4am
1+4a
2
3
m
,即0≤a<
1
2
时,当x∈(0,
4am
1+4a
)
时,
由于f'(x)>0,∴f(x)在[0,
4am
1+4a
]
上单调递增,
f(x)max=f(
4am
1+4a
)=
64a2m3
(1+4a)3
…(11分)
综上可知:0≤a<
1
2
时,产值y的最大值为
64a2m3
(1+4a)3
,此时投入的技术改造费用为
4am
1+4a
;当
1
2
≤a≤2
时,产值y的最大值为
16
27
m3
,此时投入的技术改造费用为
2
3
m
.…(12分)
点评:本题考查函数的应用问题,函数的解析式、利用导数研究三次函数的最值及分类讨论思想,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(13分)某企业有一条价值为m万元的生产流水线,要提高其生产能力,提高产品的价值,就要对该流水线进行技术改造,假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足:①y与成正比;②当时,,③,其中a为常数,且.

(1)设,求出的表达式;

(2)求产值y的最大值,并求出此时x的值.

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(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式;
(2)求产值y的最大值,并求出此时x的值.

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