Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x的定义域为[-2，t]，其中常数t＞-2，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）是增函数，求实数t的取值范围；
（2）求证：f（t）＞13e^-2；
（3）设f'（x）表示函数f（x）的导函数，g(x)=

f′(x)

ex

-

2

3

(t-1)2，求函数g（x）在区间（-2，t）内的零点个数．

Answer 1

分析：（1）若函数f（x）是增函数，则必要导数f'（x）≥0，由此不等式即可解出实数t的取值范围；
（2）由题意求证f（t）＞13e^-2，可解出函数f（x）在区间[-2，+∞）上的最小值，由此最小值与13e^-2作比较即可证明此不等式；
（3）由题意先解出g(x)=

f′(x)

ex

-

2

3

(t-1)2的解析式，由所得的解析式，及零点判定定理知，可研究此函数在区间（-2，t）两个端点值的符号及区间内函数最值的符号，由定理判断出零点个数即可

解答：解：（1）f（x）=（x²-3x+3）e^x，f'（x）=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，…（1分）
f'（x）≥0?x≥1或x≤0，…（2分）
若函数f（x）是定义域[-2，t]上的增函数，知t的取值范围是（-2，0]．…（4分）
（2）由（1）知函数f（x）的增区间为[-2，0]与[1，+∞），减区间为[0，1]，
从而函数f（x）在区间[-2，+∞）上有唯一的极小值f（1）=e，…（6分）
但f（-2）=13e^-2＜e（∵e-13e-2=

e3-13

e

＞

2．53-13

e

＞

15-13

e

=0)，
故函数f（x）在区间[-2，+∞）上的最小值为f（-2）=13e^-2，…（8分）
因为t＞-2，所以f（t）＞f（-2）=13e^-2．…（9分）
（3）g(x)=

f′(x)

ex

-

2

3

(t-1)2=x(x-1)-

2

3

(t-1)2
函数g（x）的图象是开口向上、对称轴为x=

1

2

的抛物线，
且g(-2)=-

2

3

(t+2)(t-4)，g(

1

2

)=-

1

4

-

2

3

(t-1)2＜0，g(t)=

1

3

(t+2)(t-1)．
函数g（x）在区间（-2，t）内有两个零点?

t＞ 1 2 g(-2)＞0 g(t)＞0

?1＜t＜4；…（9分）
当-2＜t≤1时，g（-2）＞0，g（t）≤0，又由g(

1

2

)＜0可知，函数g（x）在区间（-2，t）内只有一个零点；…（11分）
当t≥4时，g（-2）＜0，g（t）＞0，可知，函数g（x）在区间（-2，t）内只有一个零点．…（13分）
综上，当1＜t＜4时，函数g（x）在区间（-2，t）内有两个零点；
当-2＜t≤1或t≥4时，函数g（x）在区间（-2，t）内只有一个零点．（14分）

点评：本题考查导数在最值问题中的运用，利用导数研究单调性，再利用单调性求最值，这是导数的重要运用，解答本题，第一小题关键是理解导数与函数单调性的关系，第二小题关键是将证明不等式问题转化为利用导数解出函数的最值，从而证明不等式，第三题解题的关键是理解零点定理及函数区间内函数最值的判断，本题考查了转化的思想分类讨论思想等，由于本题运算量较大，易因运算导致错误，解题时要严谨