Question

设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，其中x∈R．
（1）分别写出当a=0．a=2．a=-2时函数f（x）的单调区间；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）先讨论绝对值内的正负去掉绝对值符号，根据分段函数图象的特征，并根据图象写出函数的单调区间即可．
（2）用定义判断函数的奇偶性．其步骤为先判断定义域的对称性，再判断f（x）与f（-x）的关系，另外注意本题书写的格式---先判断后证明．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|=

x2    x≥0 -x2  x＜0

，
f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；（2分）
当a=2时，f(x)=

x2-2x x≥2 -x2+2x x＜2

f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（2，+∞）；f（x）的单调递减区间为（1，2）
当a=-2时，f(x)=

x2+2x x≥-2 -x2-2x x＜-2

f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（-1，+∞）；f（x）的单调递减区间为（-2，-1）
（2）当a=0时，f（x）=x|x|，所以f（x）为奇函数
因为定义域为R关于原点对称，且f（-x）=-x|-x|=-f（x）
所以f（x）为奇函数
当a≠0时，f（x）=x|x-a|为非奇非偶函数，
f（a）=0，f（-a）=-a|2a|，所以f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）
所以f（x）是非奇非偶函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断、二次函数的图象以及分段函数的图象和数形结合思想的应用．是对函数图象的综合考查，属于基础题目．