【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0)过点 ,且离心率e为 .
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线x=my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
【答案】
(1)解:由已知得 ,解得 ,
∴椭圆E的方程为
(2)解:设点A(x1y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).
由 ,化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,
∴y1+y2= ,y1y2= ,∴y0= .
G ,
∴|GH|2= = + = + + .
= = = ,
故|GH|2﹣ = + = ﹣ + = >0.
∴ ,故G在以AB为直径的圆外
解法二:设点A(x1y1),B(x2,y2),则 = , = .
由 ,化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,
∴y1+y2= ,y1y2= ,
从而 =
= +y1y2
= +
= ﹣ + = >0.
∴ >0,又 , 不共线,
∴∠AGB为锐角.
故点G 在以AB为直径的圆外
【解析】解法一:(1)由已知得 ,解得即可得出椭圆E的方程.(2)设点A(x1 , y1),B(x2 , y2),AB中点为H(x0 , y0).直线方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,利用根与系数的关系中点坐标公式可得:y0= .|GH|2= . = ,作差|GH|2﹣ 即可判断出.
解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1 , y1),B(x2 , y2),则 = , = .直线方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,计算 = 即可得出∠AGB,进而判断出位置关系.
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【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,△ABC是边长为4的等边三角形,D为AB边中点,且CC1=2AB.
(1)求证:平面C1CD⊥平面ABC;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求三棱锥D﹣CAB1的体积.
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【题目】已知函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)已知a∈R,设P:当 时,不等式f(x)+3<2x+a恒成立,Q:当x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣ax是单调函数,如果记使P成立的实数a的取值的集合为A,使Q成立的实数a的取值的集合为B,求A∩RB.
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【题目】已知函数y=f(x)满足以下条件:①定义在正实数集上;②f( )=2;③对任意实数t,都有f(xt)=tf(x)(x∈R+).
(1)求f(1),f( )的值;
(2)求证:对于任意x,y∈R+ , 都有f(xy)=f(x)+f(y);
(3)若不等式f(loga(x﹣3a)﹣1)﹣f(﹣ )≥﹣4对x∈[a+2,a+ ]恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知直线: ax+by=1(其中a,b是实数) 与圆:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积最小值为 .
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【题目】习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风,闻讯而动,决定利用旅游资源优势,撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况,以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数,画出茎叶图如下:
(1)若景点甲中的数据的中位数是125,景点乙中的数据的平均数是124,求的值;
(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天,记其中游客数超过120人的天数为,求概率;
(3)现从上图的共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天),记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为,求的分布列和期望.
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【题目】已知二次函数f(x)的对称轴x=﹣2,f(x)的图象被x轴截得的弦长为2 ,且满足f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(( )x)>k,对x∈[﹣1,1]恒成立,求实数k的取值范围.
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