Question

已知m∈R，设命题p：在平面直角坐标系xoy中，方程

x2

m+2

+

y2

3-m

=1表示的曲线为双曲线；命题q：函数f（x）=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在（-∞，+∞）上存在极值．求使“p且q”为真命题时的m的取值范围．

Answer 1

分析：先分别求出命题p和命题q的等价命题，即分别求出命题p和命题q为真命题时m的取值范围，再由“p且q”为真命题，知p真且q真，最后求交集即可

解答：解：命题p为真命题?（m+2）（3-m）＜0?m＜-2或m＞3
对于函数f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6，有f ′(x)=3x2+2mx+m+

4

3

．
函数f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在（-∞，+∞）上存在极值?f'（x）=0有两个不等实根?(2m)2-12(m+

4

3

)＞0?m＜-1或m＞4．
于是命题q为真命题?m＜-1或m＞4．
所以“p且q”为真命题?命题p和q都是真命题-?

m＜-2或m＞3 m＜-1或m＞4

?m＜-2或m＞4．
故使“p且q”为真命题的m的取值范围是（-∞，-2）∪（4，+∞）．

点评：本题考查了复合命题、简单逻辑连接词、真值表的应用，解题时不仅要熟记真值表，还要熟练掌握双曲线的标准方程、导数求极值的方法等基础知识